Ces quelques idées générales, sortes de « méta-concepts » transversaux, ont pour ambition de fournir aux enseignants des cadres organisateurs, des outils de pensée pour changer leur regard, leur point de vue, pour les aider à voir ce qui est caché derrière ce qui est vu, à entendre au-delà de ce qui est dit, dans les situations de vie quotidienne qui entrent dans la classe :
– prendre en compte le non numérique ;
– adopter une vision transformationnelle ;
– favoriser la métamathématique ;
– garder en filigrane la routine générale ;
– être attentif aux processus cognitifs en jeu.
Ces lignes générales participent à la fois
– à l’accueil attentif d’un événement raconté, d’un objet amené, d’une remarque exprimée ou d’une invention abstraite présentée ;
– à leur problématisation qui ne dépossède pas l’enfant à l’origine de l’apport ;
– à l’accompagnement du processus de recherche engendré.

Poussé par une force vitale qui l’entraine à découvrir son environnement pour s’y adapter, l’enfant fait naturellement quantité d’expériences.
Nombre d’événements du quotidien recèlent des concepts mathématiques potentiels.
Ces actions et ces gestes permettent d’explorer physiquement et intellectuellement des situations qui actualisent certains principes de la logique mathématique et qui sont les prémisses d’une construction réfléchie de structures mathématiques.

Les situations de vie quotidienne concrètes mais néanmoins complexes relèvent notamment du domaine de la mathématique non numérique. S’appuyer sur elles en classe, c’est se donner la possibilité de profiter de ce patrimoine potentiel de connaissances et de compétences qui se construit naturellement tout au long de la vie.
La vie quotidienne offre de nombreuses opportunités d’utiliser spontanément et de manière intuitive des concepts mathématiques (monter ou descendre un escalier suppose une certaine confiance dans la transitivité*).
C’est à partir de situations  de la vie courante que se dégagent les premiers points de départ de la recherche mathématique et leur  processus de construction réfléchie de concepts mathématiques.

Le monde du non numérique s’avère être l’espace de recherche mathématique idéal pour les jeunes enfants. Il leur offre la possibilité de faire leurs premiers pas vers une démarche mathématique raisonnée.
Il est le terreau des découvertes ultérieures dans le monde du numérique.

Il existe dans le non numérique des voies de réussite qui permettent d’accéder à la symbolisation, à la manipulation de symboles abstraits. Elles permettent à des enfants très jeunes (moins de six ans) de construire et manipuler des concepts mathématiques très élaborés.

* voir partie 4 « domaines math/math non numérique »

Après les premières manipulations spontanées et intuitives de la petite enfance, le jeune enfant ressent le besoin d’expliquer ce qu’il fait, d’affiner sa pensée. Les gestes du doigt et de la main font place aux mots et aux phrases, puis aux tracés au crayon. La nécessité de communiquer avec les autres, de leur expliquer, oblige à l’élaboration de représentations (dessins, schémas,…) de plus en plus précises.
– rassembler, construire, assembler des éléments (avec deux ou plusieurs cubes je crée un nouvel objet), aligner ;
– déplacer, défaire, partager, distribuer ;
– faire puis défaire (action réversible ou pas) ;
– plier, découper, déplacer ;
– jouer avec des reflets (miroirs, surface de l’eau) ;
– jouer avec des ombres ;
– modeler de la pâte à modeler.
D’autres actions plus intentionnelles incitent à la curiosité et à la discussion :
– mettre ensemble suivant un critère ;
– partager équitablement ou pas ;
– composer, décomposer des éléments ;
– refaire à l’identique, imiter ;
– changer
– remplacer, échanger ;
– trier, classer, ordonner, réorganiser ;
– comparer ;
– ajouter, enlever, compléter.

Toutes ces actions sont susceptibles, suivant l’intérêt suscité, d’être approfondies et de toucher ainsi au monde non numérique des propriétés, des relations, des fonctions et des lois*.

* voir partie 4 « domaines math/math non numérique »

Quel que soit l’événement qui a provoqué un intérêt, c’est toujours une remarque, un étonnement exprimé à la suite d’un arrêt sur la situation qui en est à l’origine. Cette bonne habitude s’installe assez rapidement et d’autant plus facilement dans la classe que chacun apprécie ces moments de libre « remue-méninges ».
Un exemple * :
Chaque matin, en arrivant, j’écris la date au tableau avec l’aide des plus jeunes (6/7 ans) :

Bien sûr, l’utilisation des couleurs est une provocation de ma part . Elle est remarquée et discutée : les trois couleurs, leur périodicité, le changement d’écriture scripte/cursive, les deux façons d’écrire le numéro de la date.

Cet événement provoque plusieurs interrogations et donc des recherches dans plusieurs champs du domaine non numérique ** :
–  les fonctions quelconques : changer l’écriture des mots (script/lié), des numéros (3/trois), changer les couleurs ;
– les fonctions successeur, prédécesseur ;
– les fonctions périodiques : les jours, les mois. Et les numéros ?
– les permutations : le bleu, le rouge et le blanc, c’est presque comme le drapeau français…
– faire les changements plusieurs fois (compositions)
– « mélanger » les changements : changer l’écriture puis la couleur, etc.

* voir partie 2 « des recherches/rituels du matin »
** voir partie 4 « domaines math/math non numérique »

Dès le début, le bébé explore son espace environnant. Il l’observe, touche, attrape les objets qui l’entourent.
Il s’y déplace ensuite à quatre pattes pour en expérimenter les différents aspects : les passages possibles, les trous, les portes qui s’ouvrent ou non, ce qu’il y a derrière, les boites ouvertes ou fermées, etc.
Il va tout droit, change de direction, fait demi-tour ou revient au point de départ.
Il explore l’espace par le mouvement, qui lui est essentiel.
Le petit trace avec le crayon sur la feuille des lignes qui tournent, qui se croisent, qui font des boucles…

L’enfant qui grandit poursuit cette expérimentation. Le choix par l’enseignant de la géométrie de transformation* permet de la prolonger et d’aider à la formation de certains concepts.
De nombreuses situations dans la vie s’y prêtent :
– les mouvements, déplacements, seul, à deux ou à plusieurs, certaines danses ;
– la trace laissée par des pas dans la neige, par un vélo sur le sol, par des avions dans le ciel bleu ;
– une ligne dessinée par un pinceau sur une feuille ;
– de nombreux objets (pulls, tapisseries, décorations géométriques, …) présentent des motifs réguliers ;
– le monde végétal (fleurs, feuilles), animal (moustiques, papillons, …)
– les reflets dans un miroir, dans un lac ;
– les ombres dues au soleil ou à une lampe ;
Les occasions de s’étonner sont innombrables ! Il suffit d’ouvrir les (bons) yeux…

Ces événements présentés en classe ont été les points de départ de recherches d’ordre géométrique (homothétie, rotation, translation, symétrie axiale)

* voir partie 4 « domaines math/la géométrie de transformations »

Les phrases « X habite rue de la Planche », « Y habite rue du Marais »  ou  » Moi aussi  » prennent alors une coloration différente en devenant des énoncés mathématiques. Si on approfondit, on aborde
– des notions de propriété : J’habite rue de…, j’ai une sœur,…  oui ou non ;
– des notions de relation entre éléments : Y et Z habitent dans la même rue, X est plus grand que Y ;
– des relations entre ensembles (enfants et rues) ;
– des opérations logiques : oui-non, et, ou (inclusif ou exclusif), l’équivalence, l’implication avec le « si … alors… » et la notion de détermination.
Et toujours des nécessités de représentation, de symbolisation à gérer.
C’est tout l’univers des relations, des fonctions et des lois non-numériques puis numériques qui s’ouvre.*

Tous ces éléments fondent les futurs raisonnements, démonstrations et structures mathématiques rencontrés ultérieurement dans la scolarité… et dans la vie.

* voir partie 4 « domaines math/math non numérique/logique »

Les situations issues de la vie quotidienne, problématisées et traitées, relèvent des notions de propriétés d’éléments, d’ensembles, de relations puis de fonctions et de lois non numériques. Toutes ces structures constituent la matrice à partir de laquelle se développent les concepts numériques.
Les compétences acquises lors des recherches libres telles que construire une démarche de résolution, représenter, abstraire, symboliser, classer, généraliser ou conceptualiser, sont mises également à contribution pour dénouer des situations d’ordre numérique.

L’examen d’événements de la vie courante procure aux jeunes enfants de nombreuses opportunités d’accéder très tôt à une véritable activité mathématique raisonnée, de se confronter à l’abstraction, la symbolisation et la conceptualisation.
Il ne s’agit pas, à l’aube de l’expérience mathématique, d’une simple initiation, mais, bien au-delà, de l’activité mathématique elle-même.

L’activité mathématique ne se limite pas à la « simple » constatation des faits pour appréhender le réel. La fréquentation et la description de ceux-ci ne suffissent pas au développement des apprentissages.
Observer un carré, le décrire (encore faut-il savoir ce qu’il faut observer, ce qui est pertinent ou attendu, ce qu’il faut abstraire, écarter ou conserver), faire quelques mesures, tout cela permet sans doute d’énoncer quelques propriétés mais reste peu enthousiasmant.
En revanche, si l’on peut intervenir sur ce carré, le transformer, le plier,  le couper, le tourner, l’agrandir, reproduire sa forme, s’intéresser à son ombre au soleil ou à la lumière d’une lampe, etc., alors l’observateur devient chercheur : des difficultés à surmonter surgissent et des questions motivantes se posent.
De même, considérer deux carrés au lieu d’un seul incite à les comparer, à s’intéresser au passage de l’un à l’autre, à la nature du changement qui permet d’obtenir le second à partir du premier (ou l’inverse). Ou encore à varier leur disposition.
De nouvelles portes s’ouvrent : et que se passe-t-il si je réitère ce changement une fois, deux fois, x fois ?
Qu’est-ce qui change, qu’est-ce qui reste invariant ?
Le concept de carré se construit ainsi par la découverte de ses attributs spécifiques qui permettent de le distinguer des autres figures géométriques.
Mais il n’apparaît que comme une « péripétie » dans le mouvement d’exploration déclenché. Bien qu’utile, pratique et économique dans la gestion d’autres situations, le concept carré n’est pas une fin en soi, mais simplement un outil supplémentaire destiné à faire progresser la recherche entreprise.

« Et si … je faisais comme ça » ou « Et si je changeais ça … ».  Ces envies exprimées par les enfants, quand elles sont entendues et prises en compte, se révèlent être de solides promesses de découvertes.
Cette pédagogie par le mouvement et cette vision transformationnelle permettent de ne pas s’arrêter à la singularité de chaque situation mais de la dépasser en effectuant des classements et des généralisations. La pensée prend encore plus le pas sur l’action. Elle la guide.

La métacognition désigne l’activité d’évaluation et de régulation de l’apprenant de sa propre cognition. C’est la réflexion sur l’action, sur les processus cognitifs suivis. Cette autorégulation participe à la construction des concepts et à « apprendre à apprendre ».
Dans le cadre de la recherche libre, la métamathématique joue un rôle central. Lorsque l’événement de départ est problématisé et l’objet de recherche déterminé, la résolution du problème par le biais des représentations se construit dans un processus constant de tâtonnement par essais-erreurs entre l’action et la réflexion sur celle-ci. Les choix adoptés sont constamment testés, autoévalués, conservés ou rejetés en fonction de leur pertinence par rapport au but poursuivi : une procédure experte de résolution de la situation singulière problématique.
Cette métamathématique s’inscrit implicitement et naturellement dans la démarche individuelle du chercheur. Mais elle opère également de façon explicite dans les échanges avec l’enseignant, avec d’autres enfants, et surtout lors de la communication des travaux avec le groupe pendant laquelle il faut être clair.

Cette activité métamathématique s’exerce également lors des phases ultérieures de la recherche avec le passage des solutions spécifiques à des concepts plus larges*.
Classements, généralisations, création de démarches générales de traitement participent au transfert des connaissances par ces régulations instrumentées.

* voir partie 1  la recherche libre mathématique/la démarche.

 Le terme « routine » doit être compris, une fois encore, non pas comme un modèle à suivre, mais comme un champ de possibles permettant à l’enseignant d’accompagner le jeune chercheur dans son cheminement personnel.
Certains enfants manifestent le besoin de tâtonner pendant un temps plus ou moins long à chacune des « étapes ». Pour d’autres, le cheminement est différent : certaines phases sont explorées rapidement, d’autres nécessitent plus de temps. Quelques uns opèrent autrement : pour maitriser le phénomène étudié, ils l’explorent en émettant d’entrée des hypothèses de résolution qu’ils testent  ensuite jusqu’à la découverte d’une solution.
De nombreux parcours existent, même si statistiquement, c’est cette routine générale qui est la plus fréquemment empruntée.  Synthétisée à partir de nombreuses tentatives de résolution de situations problématisées, elle montre quelques temps forts sur lesquels l’enseignant, quelquefois désorienté par le foisonnement des apports d’enfants, peut s’appuyer.

Au début, un événement qui étonne ou interpelle devient un sujet d’intérêt. Une problématisation définit un objet de recherche précis et impulse une première appropriation de l’événement qui se traduit par la production de premières représentations.

La collecte de données devient plus efficace avec l’utilisation de « machines » qui reproduisent le phénomène de manière plus satisfaisante.

Une organisation des nouvelles données accumulées s’impose. Le classement et le rangement amènent à la découverte de règles, d’invariants. Des modes d’emploi, des techniques opératoires sont alors élaborés.

Elle se traduit par la capacité à comprendre et à résoudre la situation problématisée de manière autonome.

L’examen du problème posé se traduit par la production de représentations et de symbolisations de plus en plus pertinentes pour sa résolution.

Cette production de représentations s’accompagne d’une montée en abstraction. La conscience d’abstraire du chercheur joue un rôle premier dans la conservation du sens de ce qui est fait.

La notion de concept recouvre à la fois l’opération mentale, le processus d’élaboration et son produit final, le savoir.

Un concept (le savoir et son élaboration) constuit lors de la résolution d’une situation problématique singulière peut être réutilisé pour gérer d’autres situations considérées comme similaires. Ce transfert ne s’opère toutefois que dans certaines conditions favorables : un chercheur acteur-auteur dans une démarche de projet dans  un environnement aidant.