La perception des événements, des objets ou des situations à travers le filtre « pareil/pas pareil » permet de mettre en évidence des caractéristiques communes ou distinctes et d’établir ainsi des relations entre les informations perçues, d’éveiller la curiosité, de susciter des remarques et des interrogations, ce qui conduit à l’émergence de problématiques spécifiques et à l’élaboration de démarches pour leur résolution.

L’étude des changements relevés ouvre la voie à l’exploration de nouveaux domaines mathématiques, que ce soit dans le champ non numérique ou numérique.

Ces recherches dans le monde non numérique, issues de faits de la vie quotidienne, n’ont pas pour seul but de créer des référents utiles, des pré-requis pour de futurs apprentissages numériques tels l’addition ou la multiplication.  Elles constituent une  activité mathématique à part entière, et ce, dès le plus jeune âge.

c’est pas pareil

quelque chose a changé

La fleur s’est fanée ;
On est passé dans un tunnel, il faisait tout noir ;
D’où vient le vent aujourd’hui ? ;
Jean-Charles est allé chez le coiffeur ;
Dans mon jardin, ça pousse ;
On a changé d’heure ;
L’année dernière, il y avait moins d’enfants dans la classe ;
Maman a eu un bébé : c’est une sœur ;
On a acheté une nouvelle voiture.

Quelque chose a changé, ça n’est plus pareil.
Qu’est-ce qui n’est pas pareil ? Qu’est-ce qui a changé ?

ça a changé comment ?

L’observation et la comparaison des objets révèle des dissemblances pour certaines propriétés.
Cependant, les remarquer uniquement ne semble guère utile et maintient la situation au stade de simples constats. Se limiter à une énumération seule des propriétés peut figer la situation et mener à une impasse. Il est plus productif d’adopter une vision transformationnelle et de se focaliser sur l’étude des changements constatés.
La mathématique apparaît quand la description cesse.

Ces changements présentent une grande diversité. Ils peuvent être aléatoires et ne suivre aucune direction définie, ou alors être prévisible et fonctionnels.

des changements de propriétés

Parfois, ils sont simples et ne concernent que les critères d’une seule propriété : la taille (petit, moyen, grand, …), la couleur (rouge, bleu,…), la position, l’orientation.
Ce changement simple peut se répéter une ou plusieurs fois.
Il peut présenter une périodicité : les jours de la semaine ou les saisons.

Dans d’autres situations, plusieurs propriétés à la fois sont concernées . Leur combinaison plus complexe peut se répéter, s’alterner,…
Certaines variations sont soumises à condition(s) : « S’il pleut, alors l’escargot sort de sa coquille » ou « Si j’ai mes gants et mon bonnet, alors je peux faire l’activité patinoire ».
D’autres sont liées (covariances) : » A la pompe à essence, plus on remplit le réservoir et plus le prix augmente. » Ou inversement  « Plus je mange de bonbons, moins il y en a dans le paquet ».

Des changements plus complexes, tel un arbre et son ombre, un objet et son reflet dans une cuillère, un dessin sur un ballon que l’on gonfle, opèrent dans certains événements. Ils sont étudiés dans le cadre de différentes géométries.

La date au tableau : on observe des changements de couleurs et d’écritures : script/ cursive, 6 en chiffre ou en lettres qui peuvent être réutilisés avec d’autres textes.	Céline a eu une trousse de Disneyland et dedans il y avait une petite règle. Elle est plus petite que la nôtre.
On a trouvé d’autres règles …. comme ça	Céline n’a pu s’empêcher de les ranger… … puis comme ça
Les trousses presque pareilles : un changement de couleurs qu’il faut décrire.	Deux stylos pas pareils : il y a eu un changement de couleurs : bleu–>rose, et une couleur qui ne change pas gris –> gris. Ce changement peut être réemployé avec d’autres objets inventés.
Deux couleurs donnent naissance à une troisième.	Les couleurs de la date, on dirait le drapeau de la France. Il y a un changement de places à étudier.
Il change de direction ou non. Il est intéressant d’essayer de reproduire fidèlement ces situations.	Les fleurs et les papillons ne sont pas disposés de la même façon. Tenter de reproduire ces phénomènes de miroir offre de prometteuses perspectives.
Le nombre de flèches dans le carquois change mais une constante (3) apparaît.	La flûte de Pan : chaque élément de l’instrument est différent des autres. Il est tentant de créer d’autres flûtes de Pan…
Le bracelet a des couleurs qui changent. Et si on inventait d’autres bracelets ?	Le collier court (une grosse perle) remplace le collier long (dix petites) : ça change mais ça veut dire pareil.
Lundi matin, le collier de la date ne change pas comme d’habitude. Et les autres lundis ? Les passages du samedi 17 au lundi 19 et du samedi 3 au lundi 5 sont les mêmes : 2 jours de plus (+2).	Pour faire du chocolat, j’ai pris du lait et j’ai ajouté du cacao.
ça change mais ça se répète. Et si je change dix fois de saison ?	Maxime varie la position des doigts sur les pistons de sa trompette. On invente d’autres sons qu’il va nous jouer.
Sur la montre, on voit une liste : 5, 10, 15, 20, 25 …	et aussi deux listes de numéros qui changent : 1–>5 2–>10 3–>15 4–>20 …

d’autres associations de numéros

des situations nouvelles

Certains changements sont le produit d’une composition d’éléments.
Le chocolat est le résultat d’un mélange de lait et de cacao.
L’arc-en-ciel nécessite la présence de pluie et de soleil.
La couleur verte est obtenue par le mélange de bleu et de jaune.
Le prénom Marie-Paule résulte de l’association de deux autres prénoms.
Ces situations non numériques sont du même ordre que des compositions comme 3 + 5 ou 12 : 4.

Ce sont les lois de composition qui permettent ces assemblages.

les concepts sous-jacents

voir partie 4 « domaines math« 
** voir partie 2 « des recherches/la ducasse » et la partie 4 « domaines math/les propriétés, les relations »

l’erreur  fructueuse

Des changements se manifestent parfois de manière imprévue : une consigne est donnée mais sa réalisation fait apparaître des erreurs. Des exemples :
– la couleur bleue doit être remplacée par du rouge mais la demande n’est pas toujours respectée : une erreur apparait et une fois, la couleur bleue est malencontreusement changée en vert ;
– le tracé d’un déplacement codé sur quadrillage : (3 ↑ et  2 → et  1↓  et  2 →) devient (3 ↑ et  2 → et  1↑  et  2 →)
– aujourd’hui, on est le 6 et Amélie a écrit 9 ;
– Pierre est interrogé et c’est Paul qui répond à sa place. Dans la classe, Paul est assis en face de Pierre.
– pour inventer sa liste de nombres, il en oublie deux à chaque fois : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 18, 21, …
Toute situation dans laquelle une consigne donnée n’est pas respectée est susceptible d’offrir l’occasion d’étudier un nouveau changement. L’erreur d’exécution non prévue est prise en compte et érigée en nouvelle règle (on va se tromper comme…). Elle devient fructueuse, inductrice et créatrice.
– systématiquement, la couleur bleue devient verte ;
– tourner chaque chiffre, objet, … comme le 6 d’Amélie ;
– le nouveau jeu : Julie est interrogée, qui va répondre à sa place ?
– quelle liste obtient-on si on oublie trois nombres cette fois ?
De nouveaux changements apparaissent. Ce sont des changements de changements qu’il faut aussi examiner.

changer : du constat à l’exploration et à la maîtrise

La découverte d’un changement, à la suite d’un constat ou d’une erreur involontaire de reproduction, est une occasion de procéder à un nouveau questionnement, de réaliser une tentative de  reproduction puis d’exploration. L’objectif est de maîtriser ce changement et de l’intégrer comme nouvelle connaissance.

faire fonctionner les fonctions

Une fonction est une relation particulière qui associe un élément d’un ensemble de départ appelé antécédent ou objet,  à un élément au plus d’un ensemble d’arrivée (appelé image), et toujours le même, ce qui élimine tout doute quant au résultat du changement. Elle occupe ainsi une place privilégiée dans le monde des relations. Elle est très utilisée parce que efficace pour structurer des informations, relier et modéliser des ensembles de données,  et faciliter la compréhension de phénomènes complexes.
Elle est associée à l’idée de détermination.*

* voir partie 4 « domaines math »

appliquer les changements de propriétés

Les couleurs d’un objet, sa taille, sa forme, sa position, son orientation…, le nombre d’éléments d’une collection peuvent être sujets à variations.
Quand le changement découvert porte sur une (ou plusieurs) propriété(s) d’un objet, il s’agit de définir précisément quelle est la propriété en question et ce qu’elle devient, puis d’appliquer scrupuleusement le nouveau mode d’emploi du fonctionnement de cette fonction dans de nombreuses autres situations.

On peut aussi par la suite inventer des dessins pour le jeu des différences : il faut créer deux images jumelles et modifier volontairement quelques détails dans la deuxième.

en inventer d’autres

En s’inspirant des fonctions découvertes, il est très tentant d’en inventer d’autres : par exemple, à partir du changement de place des couleurs du drapeau français, on peut s’interroger sur toutes les possibilités que permet cette situation. Il est possible de chercher d’autres drapeaux tricolores et de leur appliquer la nouvelle fonction découverte, d’imaginer d’autres configurations de drapeaux à deux, quatre… couleurs, avec des bandes horizontales, d’autres objets de couleurs.

Le bracelet, après exploration et découvertes diverses, peut donner lieu à l’invention de nouveaux bracelets similaires avec une autre couleur, deux autres couleurs, ou plus, avec des périodes différentes, ou encore avec une combinaison des deux propriétés…

Un large  champ d’investigation est ouvert !

transformer

Certains changements entre deux objets portent sur des figures. Pour ces correspondances ponctuelles, en géométrie, on parle de transformations qui comptent entre autres les symétries (axiales, ponctuelles), les translations, les rotations, les homothéties.
La géométrie de transformation approche les figures par l’étude des propriétés invariantes lors de ces transformations.
La coupe, le moustique, la décoration de Noël, … permettent une approche et une utilisation de la symétrie axiale, la tour Eiffel, les poupées russes, … renvoient à l’homothétie, la danse macarena, les pétales de la fleur à la rotation et le chien Chipie à la translation.

 l’idée de détermination : si … alors

La date : si c’est écrit en bleu, alors après ce sera en rouge ; si c’est en rouge, alors ce sera blanc ; si c’est blanc, alors ce sera bleu.
Les stylos : si c’est bleu, alors ce sera rose ; si c’est gris, alors ce sera gris.
La date : si c’est en script, alors ce sera en cursive.

S’il pleut, alors l’escargot sort de sa coquille.
Si le feu de circulation est rouge, alors papa arrête la voiture.
Si le feu de circulation est rouge, alors après ce sera vert.
Si le feu est vert, alors papa démarre la voiture.

« Si tu n’es pas sage, alors … », menaces de chantage proférées régulièrement par des adultes à des enfants.

L’actualisation d’un événement dépend d’une condition. Cette notion de détermination est assez courante dans la vie quotidienne. Alors, quand elle se présente, pourquoi ne pas la remarquer et s’y arrêter un court instant.

Loïc propose le jeu des devinettes : à l’aide de questions, il s’agit de découvrir l’objet ou l’animal auquel il pense. Il arrive que quelquefois, pour ne pas faire gagner untel ou pour favoriser un de ses copains, il donne  aux questions posées une réponse qui contredit ce qu’il a affirmé précédemment. L’incohérence apparaît et très vite, les protestations s’élèvent. Loïc a changé en cours de jeu l’animal qu’il a en tête  : il n’a pas respecté la règle et le jeu devient impossible. Une question peut aboutir à deux réponses différentes, selon le bon vouloir du meneur de jeu.
Le principe aristotélicien de non- contradiction*, socle de la logique classique, qui postule qu’une affirmation et son contraire ne peuvent coexister dans la vérité, n’est pas respecté.

La notion de fonction est liée à l’idée de détermination. Suivant des règles et un mode d’emploi définis clairement en amont, le changement s’opère systématiquement et immuablement de la même façon : le bleu devient toujours rose, la carré se transforme toujours en triangle, « tourner à droite » est remplacé par « tourner à gauche », etc.
On ne change pas les règles quand la fonction est définie.
Si on veut faire un autre changement, alors il faut changer de fonction.

* la logique « non aristotélicienne » réfute ce principe de non-contradiction et propose une autre forme de pensée. Voir, entre autres, Alfred Korzybski et la Sémantique Générale, ou Gaston Bachelard et « la philosophie du non ».

définir la fonction

quel changement ?

Il est essentiel de définir clairement la fonction utilisée ou inventée.
Une fonction est définie comme une relation qui associe chaque élément d’un ensemble de départ appelé objet à un unique élément d’un autre ensemble (ou du même) souvent nommé image.

comment le représenter ?

Pour les très jeunes enfants, un sérieux problème de représentation se pose : comment distinguer l’élément de départ de celui d’arrivée, l’objet et l’image, le début et la fin, et comment indiquer les différents liens. A l’oral, il suffit de dire ou de montrer avec la main.
Mais si ceux-ci sont nombreux, les informations s’accumulent mais s’envolent vite et les difficultés apparaissent. Comment conserver toutes ces données ?
Les noter sur une feuille de papier apparaît comme une bonne idée, mais ne réduit pas les difficultés : représenter le temps (avant, après) n’est pas une mince affaire.
Divers procédés sont proposés et testés * :
– emploi de marqueurs : la couleur (bleu pour l’objet, rouge pour l’image), des numéros ( 1 et 2), des étiquettes…
– utilisation de la position spatiale : à gauche (objet), à droite (image), en haut ou en bas,…
La représentation du lien entre éléments fait également l’objet de tâtonnements.
La flèche n’apparaît pas naturellement comme solution intéressante.

* voir partie 2, chapitre 4 « la ducasse »et partie 4, chapitre 2 math non numérique »

définir la fonction avec précision

Comment faire pour définir sans ambiguité la fonction en question ? Que dire pour faire comprendre ce qu’elle est ?
Il est nécessaire de préciser de quoi on parle :
– le domaine de définition des objets, des antécédents ;
– l’ensemble d’arrivée des images ;
– les liens qui relient ces éléments.
La définition de la fonction peut-être faite en extension en énonçant l’ensemble des couples (le graphe de la fonction), ou en compréhension par une phrase explicative ou par un mode d’emploi, une formule de calcul, une technique opératoire.
La fonction doit être nommée.
On peut en donner une image, la représenter, quelquefois graphiquement.

Pour l’exemple des deux stylos : le changement porte sur un changement de couleurs, de deux couleurs : le rose et le gris.
Le domaine de définition est {bleu, gris}
L’ensemble d’arrivée est {rose, gris}
Les liens, présentés ici sous forme de diagramme :

Ou alors comme un ensemble de couples {(bleu,rose), (gris,gris)}

On peut donner un nom à la fonction : f stylo.

Le changement ne peut se faire que dans ce cadre-là. Si j’ai un stylo avec du vert, je ne peux rien faire. A moins de changer les ensembles de définition et d’arrivée de la fonction et d’y ajouter un couple : (vert, …).
Cette fonction ne peut s’appliquer qu’une fois : bleu –>rose –> ?
Là encore, il est possible de changer la fonction et son ensemble de définition.

faire fonctionner les lois de composition

Le livre « Petit-Bleu et Petit-Jaune » raconte une autre histoire de changement : quand les deux amis s’embrassent, ils deviennent verts. C’est à dire :
(bleu, jaune)– s’embrassent–> vert
Le concept opérant « deux choses s’assemblent pour en faire une nouvelle » se retrouve assez régulièrement dans des gestes de la vie quotidienne :
– préparer une tasse de chocolat en mélangeant du lait et du cacao, une boisson rafraichissante avec de la grenadine et de l’eau ;
– faire deux choses l’une après l’autre pour obtenir un résultat : pour pouvoir présenter mon texte libre, j’écris l’histoire puis je fais l’illustration (ou l’inverse) ;
– deux choses sont nécessaires pour en obtenir une troisième : pour avoir le droit de patiner pendant l’activité patinoire, je dois apporter un bonnet et des gants, pour admirer un arc-en-ciel, il faut du soleil et de la pluie ;
– deux choses peuvent être remplacées par une troisième : pour aller à l’école, je peux passer chez ma copine puis aller à l’école, ou alors aller directement à l’école
a —> b, puis b —> c  ou alors a —> c (idée du raccourci).

composer, décomposer

Associer deux éléments pour en produire un troisième :

	Julien crée une nouvelle figure à partir de deux autres : il place la première au-dessus de la deuxième. C’est la loi de composition de figures qu’il a inventée.
	Le prénom Marc-Antoine est composé de deux autres prénoms à l’aide de la loi  de composition des prénoms appelée  – .
	pareil pour les noms des nombres

Il est possible de défaire ce qui a été fait : de décomposer le résultat final pour retrouver les éléments de départ.

Mais est-ce toujours possible ?

représenter la loi de composition

La recherche d’une représentation des changements de type composition / décomposition s’oriente vers l’idée de réutiliser des flèches comme pour les fonctions :

– pour la composition :

Marc—> Marc-Antoine
Antoine—> Marc-Antoine
Marc, Antoine —> Marc-Antoine

puis

– pour la décomposition :

Marc-Antoine—> Marc
Marc-Antoine—> Antoine
Marc-Antoine —> Marc, Antoine

puis

Il est également possible de composer certaines fonctions ou transformations en les répétant une ou plusieurs fois :
4 –+2—> 6 –+2—> 8
E –symétrie –>  ? –symétrie –>  ? –symétrie –>  ? –symétrie –>  ?

définir la loi de composition

Comment faire pour définir sans ambigüité la loi de composition en jeu ? Que dire pour faire comprendre ce qu’elle est et comment elle fonctionne ?
Il est nécessaire de préciser de quoi on parle :

– le domaine de définition des éléments concernés ;
– l’ensemble d’arrivée des images ;
– les liens qui relient ces éléments.

La définition de la loi peut-être faite
– en extension en énonçant l’ensemble des triplets (la table de la loi), quand c’est possible :
(a,b) —> c   ou   c —> (a,b)
– ou alors en compréhension par une phrase explicative (exemple : le premier élément au-dessus du deuxième), ou par un mode d’emploi, une formule, une technique opératoire qui permet de calculer l’image.

La loi doit être nommée.

changer le changement : la désobéissance

texte

les fonctions et les lois

texte

réitérer le changement

texte

annuler le changement

texte

de l’acte à la pensée

penser le changement, inventer de nouveaux changements abstraction

créations formelles : et si …

explorations

invariances

texte

c’est pareil ! des concepts

conceptualisations