c’est pas pareil, mais…

apparemment différent

Des événements qui ne semblent rien avoir en commun, des situations qui changent, des objets qui présentent des configurations particulières, des grandeurs désignées par des noms différents manifestement distinctes…

Au premier abord*, certains objets ou événements apparaissent comme différents, sans relations apparentes :
– par leur aspect visuel : les deux colliers, les pièces, les transcriptions de la date, les chemins sur quadrillage, l’âge du bébé ;
– des situations ne semblent avoir aucun point de ressemblance : la direction du vent, les saisons et la macarena, les cachets et le chasseur, le crocodile et le yoyo, la couronne de la galette et les fourmis ;
– des grandeurs qui sont désignées différemment : le temps écoulé mesuré en jours ou en semaines, en mois ou en années ; une même longueur exprimée avec des unités différentes ;
– un nombre utilisé sous une forme simple ou composée : 17 ou 10+7 ;
– un objet symétrique** qui montre des différences dans sa structure interne (« pas pareil de chaque côté ») : déco de Noël, coccinelle, trophée sportif … ;
– des listes de nombres différentes sur la montre.

Certaines désignations présentent un aspect inhabituel :
– des mots composés difficiles à identifier : 35 + 24, le frère de la mère de mon copain ;
– des noms inconnus qui demandent à être précisés : Milou s’est sauvé, Florent est venu ;

* Selon l’âge des enfants, les interrogations ne seront évidemment pas les mêmes.
** le même objet peut aussi être perçu comme « pareil de chaque côté ».

mais pas totalement

Si on dépasse la première impression et que l’observation s’affine, des liens ou des régularités dans le changement apparaissent. Ceux-ci ne sont pas perçus d’emblée par l’œil. C’est l’esprit qui, après investigation de l’événement, les construit et les amène à la conscience : une propriété qui est abstraite (même valeur pour les pièces, pour les mesures), une relation choisie (les listes de nombres sur la montre), une invariance mise à jour (bracelet,  frises …). Au-delà de la perception première, ces « traitements » structurent les situations perçues.

des structures

Des régularités nouvelles, une structure commune se créent et se révèlent par une intervention de l’observateur sur la situation
– par le choix d’appliquer une propriété, une relation, une fonction ou une loi à une situation qui structure celle-ci ;

– par une composition de fonctions qui fait apparaître un comportement similaire, par exemple, pour la ronde des saisons, certains changements de direction du vent et la macarena :
été –> automne –> hiver –> printemps –> été
ouest –> nord –> est –> sud –> ouest
en dansant, si je tourne 4 fois, je me retrouve dans la position de départ ;

– par l’exploration de situations différentes* lors du processus de recherche qui
. révèle un fonctionnement identique : les événements  le crocodile, le yoyo, la tapisserie et la frise montrent, après deux changements seulement  cette fois au lieu de 4 (groupe d’ordre 2) le même retour à la position de départ ;
. présente un traitement similaire dans la résolution du problème à résoudre : le bateau* et le jeu de cheval *, ou les pas du facteur et la grève des trains ;
. aboutit à une technique opératoire équivalente pour la résolution des problèmes posés : les diagrammes, tableaux … pour les relations et fonctions non numériques ; la maîtrise des listes numériques et l’utilisation de tables pour les fonctions additives ou multiplicatives ;

– par un rapprochement de certains événements, les cachets et le dragon, ou la montre, l’horloge et le thermomètre,  qui met en lumière des relations numériques partagées : une somme commune  (x + y = 3) ou une fonction  (multiples de 5) ;

– par l’utilisation d’une transformation qui aboutit à la découverte d’invariances : le livre miroir et les chiens Chipie qui se regardent (idée de la symétrie axiale), les poupées russes, la flûte, le coloriage et les deux frères (notion d’homothétie sous-jacente), la couronne et les fourmis (vers la translation) … **

On passe ainsi d’une perception immédiate du monde physique à une pensée plus abstraite fondée sur des représentations, des propriétés, des relations et des lois. C’est le regard que décide de poser l’observateur sur l’événement qui crée ces structures.

* voir partie 2 « des recherches »
** voir partie 4 « domaines math »

les noms de …

signifiant et signifié

Le même événement peut se présenter sous des réalités matérielles distinctes : le collier long  des perles du jour est visuellement différent du collier court ; les deux chemins sur quadrillage ont apparemment peu de choses en commun.
Elles sont cependant des concrétisations et des représentations différentes d’un même contenu : le numéro du jour ou le passage d’un point A à un point B.

Tout signe porteur de sens comporte  une double face : une représentation, d’ordre visuel, sonore, graphique … qui nous le rend sensible (le signifiant) et un contenu sémantique évoqué, un concept (le signifié).
Un même signifié peut être exprimé par divers signifiants selon les circonstances.
Ainsi, selon l’âge des enfants, des désignations différentes de la même entité peuvent prêter à confusion ou générer de l’incompréhension : le 21 janvier et le 21/01, 140 jours et 20 semaines, 1 pas  et 4 pas (facteur et Bertrand), 10 + 7 et 17, sont perçus comme des entités différentes.
Certaines désignations comme Florent, 14 mois, 54 … apparaissent comme incompréhensibles si aucune information supplémentaire n’est apportée : pour Florent c’est  » le frère de Fanny » ; pour 14 mois, l’info nécessaire est « 1 an c’est 12 mois » ;  pour le nombre 54, c’est un certain rapport à 50 et à 4.

Si un signifiant (la lettre M) renvoie à plusieurs signifiés (Mardi ou Mercredi), l’incertitude s’installe. Il faut modifier le signifiant et le remplacer par « Ma » et « Me » par exemple.
De même pour les deux « Mathieu » de la classe, il a fallu, pour savoir qui est interrogé, lever l’incertitude en précisant à l’oral « Mathieu du Cp » ou « Mathieu du CE1 », ou « Mathieu 1 » et « Mathieu 2 », ou encore accompagner le nom « Mathieu » d’un geste pour désigner l’enfant concerné. A remarquer que le problème ne se pose pas à l’écrit puisque les désignations Mathieu et Matthieu ne sont pas équivoques.

Des situations comme le crocodile, le yoyo, la tapisserie et la frise, ou la direction du vent, la macarena et les saisons, sont rapprochées les unes des autres après leur exploration et la constatation de structures communes « cachées » (ordre 2, ordre 4)

noms relatifs et noms absolus

désigner

Comment désigner les personnes ?
Par leur prénom :  » Lui, c’est Florent ».
Mais le prénom apporte peu d’info si on ne connait pas le garçon.
Il est alors possible d’ajouter son nom de famille.
Ou faire autrement et dire : « C’est le petit frère de Fanny ».
Cette façon de désigner, à partir d’un élément connu (Fanny, élève de la classe) s’appuie sur des structures (frère,frère), (petit,petit) de propriétés et de logique binaire (oui/non) et utilise une relation (familiale, place dans la fratrie).

Ceci est une manière totalement différente de procéder : d’une part, Florent, désignation peu porteuse de sens, et d’autre part « le petit frère de Fanny », un nom composé plus significatif.
Florent est appelé nom absolu, le petit frère de Fanny nom relatif.

Il apparaît que, pour une même entité, les noms relatifs sont multiples, contrairement aux noms absolus.
Le nom absolu est le représentant d’une classe plus ou moins nombreuse de noms relatifs équivalents.

 » On a soupé chez Nathalie.
– ?
– Nathalie, c’est ma tata, la soeur de mon père. »

« Je suis allé chez pépé-lapins et mémé-lapins : c’est le père et la mère de mon père. »
On dit : « Mes  grands-parents paternels. »

 » La fille de mon tonton, c’est ma cousine »

des noms relatifs multiples

Les noms dits relatifs désignent sous des formes diverses une même entité généralement identifiée par un mot unique appelé nom absolu. C’est le contexte de la situation qui entraîne la création et l’utilisation de ces différents « costumes ».

le frère de Romain
le voisin de gauche de Guillaume
le voisin de gauche du voisin de gauche de Jennifer
celui qui est entre Guillaume et Romain
un des fils Caron
le copain de Guillaume
le petit-fils de …
sont différents noms de Matthieu.

3 + 1 , 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 1, 7 – 3, ( 3 + 3) – 2, 2² etc. sont des costumes différents du même nombre, en l’occurence 4.

des exemples liés aux propriétés *

« J’ai vu un grand chien poilu et un petit chien frisé. »
Pour désigner les animaux, une seule propriété est prise en compte à la fois, au détriment de toutes les autres qui sont écartées : chien ou chien, grand ou grand, poilu ou poilu, petit ou petit, frisé ou frisé. Ces abstractions se basent sur la logique binaire du oui/non et peuvent être combinées avec la loi de composition « et ».

«  Au feu rouge, il faut s’arrêter. »
« Lui, c’est mon voisin »
« C’est un garçon de la rue des Castors ».

« Je suis allé chez le médecin. Non, c’était un dentiste. »
Dans ce cas, l’opposition entre les deux familles « être médecin » et « être dentiste » s’explique par l’utilisation courante du nom « médecin » pour « médecin généraliste ». Il s’agit dans ce cas d’une situation d’inclusion et non de disjonction : les dentistes sont un sous-ensemble de l’ensemble plus vaste des médecins, docteurs en médecine, au même titre que les pédiatres, cardiologues, etc.
La même confusion d’ordre logique opère quand les enfants appellent « moineau » n’importe quel petit oiseau rencontré. Il faut dire que les moineaux sont nombreux dans notre région.

Football : « Les bleus jouent ce soir. »
Le nom « les bleus » est attribué à un ensemble de sportifs qui partagent la caractéristique de faire partie de l’équipe de France dont le drapeau tricolore est bleu-blanc-rouge et dont la couleur dominante de maillot est le bleu. . Et ce, quel que soit le sport.
« Les Sang et Or ont dominé leurs adversaires. »
Le nom « Sang et Or » désigne les joueurs de l’équipe de football de la ville de Lens. Tout joueur faisant partie de ce club porte ce nom qui tire son origine, comme pour les bleus, de la couleur du maillot (rouge et jaune). Par extension,  » le peuple sang et or » fait référence à l’ensemble des supporters de ce club.
Le nom « Sang et Or » représente un ensemble de personnes qui partage une propriété commune : est lié avec le club de football de Lens, ou une relation commune « .

Il reflète l’abstraction qui a été faite : le choix de ne considérer dans une population que les individus qui se ressemblent selon une propriété spécifique, en excluant tous les autres.

*voir partie 4 * domaines math/math non-numérique/propriétés

des exemples liés aux relations *

Les différents noms de Matthieu sont le produit de l’utilisation de relations : frère de, fils de, copain de, voisin de…
D’autres noms relatifs construits sur le modèle « repère et lien » :
« La fille de mon tonton, c’est ma cousine. »
« On a soupé chez Nathalie. C’est ma tata, la sœur de mon père. »
« Le dessin de Mathieu. »

*voir partie 4, domaines math/math numérique/relations  et domaines math/math numérique/relations

Aux nouvelles, Sandrine annonce : « Chez ma tata Odette, deux truies ont cochonné. La première a eu 10 petits. Il y en avait 3 écrasés. La deuxième, 11 petits et 0 écrasé. »
La question qui se pose de suite pour les enfants les plus jeunes ( nous sommes en classe unique*) : Combien de vivants pour la première truie ?
Pour les enfants plus âgés, pas de soucis : c’est 7 vivants. Les notations (10,3) et (7,0) associées aux noms (7-3) et (7-0) ne posent pas de problème et sont considérées comme équivalentes **. Et c’est le (7-0) qui est le nom relatif privilégié. Et 7 le nom absolu.
Pour les plus jeunes, il faut explorer la situation, faire évoluer les représentations (manipulations d’objets, de dessins de petits cochons vivants et morts, et découvrir que le cas de figure 10 porcelets dont 3 écrasés, c’est pareils que 7 vivants. Mais aussi que la dénomination « 7 vivants » peut représenter bien d’autres situations (11, 4), (12, 5) etc.
Les histoires ne sont pas les mêmes mais tous ces noms apparemment différents sont équivalents à (7, 0), donc 7 vivants.
« Chez moi, il y en eu dix de vivants. »
Et de nouveaux horizons s’ouvrent…

*Cette structure de classe unique regroupait tous les niveaux, de 4/5 ans à 11 ans, dans la même classe avec le même enseignant. L’école n’avait qu’une classe. Elle existait dans les petits villages et a malheureusement quasiment disparu aujourd’hui.

**voir partie 4, domaines math/math numérique/relations d’équivalence

des exemples liés aux lois *

Parfois, c’est une combinaison de relations obtenue à l’aide d’une loi de composition qui s’avère nécessaire pour dénommer une personne ou une chose :
– « Le voisin de gauche du voisin de gauche de Jennifer » est une désignation possible, dans la classe, de l’élève Matthieu.
– « Hier, je suis allé à la ducasse. Non, hier c’était mercredi. C’était avant-hier. »

« On a soupé chez Nathalie. C’est ma tata, la sœur de mon père. »
Les relations familiales sont très souvent évoquées lors des « nouvelles »* : le père du père, la fille de l’oncle, la soeur du père, …
De nombreuses relations peuvent être composées entre-elles à l’aide de lois de composition** et produire de nouvelles relations.

Il en est de même pour les relations plus spécifiques que sont les fonctions. Il est possible, après avoir défini les ensembles de travail ***,
. de répéter un changement de couleur, de taille, de forme, de couleur et de taille, de forme et couleur , …
. de réitérer une ou plusieurs fois à la suite certaines manipulations numériques comme +3, -4, x7, :5 ou des séquences (+3 et +5), (x2 et x3), ou (+5 et -4), (x6 et :2), etc.
. de faire une symétrie et une symétrie, une symétrie et une rotation, une homothétie et une translation,etc…
Les possibilités sont plus que nombreuses.

Les noms relatifs ainsi formés par composition sont plus porteurs de sens. Ils sont utilisés pour éclairer certains noms absolus : le nombre relatif 30 + 5 décrit une proximité de 30 et un voisinage précis, alors que le nombre absolu 35 est lui plus opaque si on ne maîtrise pas la numération.

*voir partie 1 * la recherche ?/un cadre approprié/institutions

*voir partie 4 ** domaines math/math non-numérique/lois et domaines math/math numérique/lois

***voir ce qui concerne les relations et les fonctions dans la partie 4 domaines math

Remarque : Les noms de famille (noms absolus) reflètent cependant très souvent divers liens avec les coutumes, l’origine géographique, les professions ou métiers…  En France : Dupont, Laforêt, Boulanger, Lefèvre ou Ferrier (forgeron), Leblanc (teinturier).
L’exploration de l’origine des noms de famille et prénoms dans le monde est fascinante.
https://www.lavoute.net/nomsdefamille/

qui est-ce ?

calculer un nom

Un animal traverse la route. Un enfant dit : « C’est le chat de Guillaume ».
Pour désigner l’animal inconnu, il faut citer son espèce (chat) et apporter une information complémentaire : « de Guillaume ». Les Italiens font de même.
Les Anglo-Saxons procèdent autrement : ils commencent par le repère puis mentionne le lien : « William’s cat » ou « Wilhelms katze »

Mais pour décoder le nom relatif, pour accéder au signifié, on s’appuie d’abord sur l’élément connu proposé : « Guillaume » puis on précise en utilisant un lien : « est le chat de ».

Le nom relatif prend quelquefois une forme plus complexe parce que composé à partir de nombreuses propriétés, relations, fonctions…
« Nathalie. C’est ma tata, la sœur de mon père. »
Pour situer Nathalie :
« C’est ma tata » : c’est Laurent qui parle : c’est sa tante, qui est la sœur de son père.
Donc : si je suis le cheminement opératoire « Laurent/son père/la sœur de son père », je sais qui est Nathalie, nom absolu inconnu précédemment et porteur de sens dorénavant.
Nous pouvons considérer que pour accéder au signifié du nom absolu Nathalie, il est nécessaire d’effectuer un certain nombre d’opérations portant sur des propriétés, des relations, des fonctions, des lois de composition … Il faut calculer.

D’autres noms relatifs composés sont plus complexes à appréhender parce que l’entreprise de décodage passe par la réduction d’une longue chaine d’opérateurs.

les couleurs d’autonomie * : un calcul de nom relatif

Chaque jour, une couleur (vert, orange ou rouge) est attribuée à chacun selon son comportement . Pendant la réunion coopérative * du samedi matin est déterminée la couleur d’autonomie hebdomadaire de chacun. C’est à partir de l’ensemble des couleurs des jours de la semaine qu’est annoncé le degré d’autonomie de chacun pour la semaine suivante :
vert : autonome ; orange : semi-autonome ; rouge : non autonome.
Voici l’aspect d’une couleur d’autonomie hebdomadaire :

Le président de semaine doit savoir à quoi correspondent toutes les situations pour pouvoir annoncer le degré d’autonomie de chacun. Pour ce, il doit calculer, à partir de certaines règles décidées en commun, la couleur de semaine de chaque enfant.

table de la loi de composition des couleurs « et »	les règles de calcul supplémentaires : 1 orange est annulé par 1 vert 1 rouge est annulé par deux verts
la décision : autonomie pour la semaine.	les règles de décision : vert ou résultat nul : autonome orange : semi autonome rouge : non autonome   Chaque statut a été défini très précisément en réunion coopé par la classe. Dès qu’il a été voté, il est devenu une loi de la classe. Une loi peut être amendée ou même abandonnée s’il s’est avéré dans les faits qu’elle pose un problème sérieux.

Cette table de la loi « et » de composition des couleurs a varié au fil du temps.
En effet, des dysfonctionnements non fonctionnels sont apparus : un ordre d’effectuation des actions de calcul différent peut conduire à des résultats différents. Il s’agit donc de trouver des règles de calcul qui présentant le moins de défauts possibles.
Cette préoccupation de l’importance de l’ordre d’effectuation des actions deviendra constante dès qu’il s’agira de créer les règles de calcul des chaines composées, c’est à dire la table de la loi concernée.

* couleurs d’autonomie : voir partie 1, la recherche ?/un cadre approprié/institutions

** voir partie 4, domaines math/structures

égalité 

Les signifiants « la sœur du père de Laurent », « la tata de Laurent » représentent la même personne que l’on appelle habituellement Nathalie.
Les noms relatifs, bien que différents les uns des autres, représentent la même entité, le même signifié : le nom absolu.
On peut alors écrire dans ce cas :
la sœur du père de Laurent = la tata de Laurent = Nathalie.
(Mais si le papa a plusieurs sœurs, il faut préciser davantage les noms relatifs : « la plus vieille soeur du père de Laurent » ou « la sœur cadette du père de Laurent  »  ou « une sœur du père de Laurent « …)

Il est possible d’écrire aussi :
1 pas du facteur = 4 pas de Bertrand =  2 pas de Sandrine.
2 pas du facteur = 8 pas de Bertrand =  4 pas de Sandrine.
3 + 1 = 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 7 – 3 = ( 3 + 3) – 2 = 2² 

Henri Poincaré

Dans son ouvrage Science et méthode (1908), le mathématicien Henri Poincaré* écrit :

« La mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes.

L’examen de ces événements permet d’envisager la possibilité d’une structure commune à toutes ces choses « différentes » : chaque fois qu’une action effectuée 4 fois de suite nous ramène au point de départ, nous sommes en présence d’une même structure dont le nom est groupe cyclique d’ordre 4***.
Ce qui est découvert lors de l’exploration de la situation sur les saisons est utilisable pour l’étude de l’événement la casquette de Kéliane, par exemple.

* « Henri Poincaré, né le 29 avril 1854 à Nancy et mort le 17 juillet 1912 à Paris, est un mathématicien, physicien, ingénieur et philosophe des sciences français, souvent considéré comme l’un des derniers esprits universels, tant ses contributions couvrent de nombreux domaines scientifiques ». Wikipedia
** Kéliane a l’habitude de porter sa casquette « à l’envers ». Quelquefois, il la met « sur le côté ».
*** voir partie 4, domaines maths, structures et l’intérêt de celles-ci.

conclusion