les deux mondes

Le concept opérant des deux mondes*, qui s’avère très efficace pour accueillir certaines situations de type fonctionnel (comme les pas du facteur) ou transformationnel (comme le drôle de papa) par exemple, induit l’apparition de deux modes d’exploration de ces événements.

* voir précédemment dans cette partie concepts structurants/ concepts opérants/les deux mondes

les ensembles de travail  

dans le monde non numérique

ensembles de travail non structurés

parce que non structurables : on ne peut y poser ni relation, ni fonction ou loi

machines réelles

machine à laver, centrifugeuse

histoires

Cendrillon, fées …

changements de propriétés d’objets

couleur, taille forme…

codes secrets

codes secrets

structuration d’ensembles

Présentation

poser une relation

Présentation

poser une relation

Présentation

ensembles de travail structurés

Présentation

une exploration verticale

D’abord une lecture verticale et la découverte d’une structure simple dans A : rotation d’1/4 de tour à droite.
Puis dans B, application de la structure de A qui amène à la réponse. C’est ce que nous appelons exploration verticale de la transformation de A —> B.

une exploration horizontale

D’abord une lecture verticale et la découverte d’une structure simple dans A : rotation d’1/4 de tour à droite.
Puis dans B, application de la structure de A qui amène à la réponse. C’est ce que nous appelons exploration verticale de la transformation de A —> B.

petit test

 Les réponses ne sont pas bien difficiles. L’intérêt n’est pas là.
Essayez de vous souvenir, le quart de seconde après que vous ayez compris la demande, quel chemin a emprunté votre regard ? De A vers B ? Ou en descendant la suite de figures dans A, puis de B ? Ou peut-être une composition des deux …

deux explorations

Dans le cadre de nos recherches sur les fonctions, les lois et les transformations géométriques, nous observons régulièrement deux types d’explorations des listes de données recueillies.

une exploration verticale

D’abord une lecture verticale et la découverte d’une structure simple dans A : rotation d’1/4 de tour à droite.
Puis dans B, application de la structure de A qui amène à la réponse. C’est ce que nous appelons exploration verticale de la transformation de A —> B.

une exploration horizontale

Dans un premier temps, une lecture horizontale, du premier élément de A vers le premier de B, avec la constatation d’un variant, confirmé par une observation de la ligne suivante : chaque disque est devenu carré ;
et de deux invariants : toutes les figures de A sont partagées en quatre comme celles de B et il y a une correspondance « géographique » entre les couples de figures de A et de B et du hachurage des régions homologues.

L’application des constations précédentes aboutit aux réponses recherchées.
C’est ce que nous appelons exploration horizontale de la transformation.

d’autres situations non numériques

situation 1

exploration verticale

Dans A : 1/4 de tour à droite répété quatre fois ;

Dans B : application du même mouvement avec toutefois une remarque: la position du point de départ a changé.

exploration horizontale

La zone hachurée du disque de A subit un 1/4 tour à droite dans le carré de B.

Il suffit d’appliquer ce passage aux autres figures de A et obtenir leurs images dans B.

situation 2

exploration horizontale

L’observation du passage de a–> a’ et de b –> b’ suggère une symétrie par rapport à un axe vertical.

exploration verticale

L’observation du passage de a–> a’ et de b –> b’ suggère une symétrie par rapport à un axe vertical.

situation 3

 En cherchant les réponses à l’exemple ci-dessous, quel type d’exploration utilisez-vous pour répondre au défi. Horizontale ? Verticale ? Ou les deux …

Des situations de ce type peuvent également être abordées à l’aide des deux explorations : Exploration horizontale : de 1 –> 2 La petite fille se transforme en grand garçon ; Donc de 3 –> 4, même chose Exploration verticale de 1 à 3 La petite fille lève la main ; Donc de 2 –> 4, même chose pour le grand garçon.

Il se déroule la même chose mais dans deux mondes différents, le monde de la petite fille et celui du grand garçon. Certaines propriétés sont préservées. On parle de morphismes*.

* voir partie 4 « domaines math/structures

situation géométrique

translations sur quadrillage

Cette situation s’est présentée lors d’une recherche sur la translation pendant la phase d’exploration* de la transformation. Les tentatives de représentation de chemins et de leur translaté s’est faite dans un premier temps librement à main levée sur papier blanc, puis avec plus d’exigences sur divers papiers quadrillés. J’ai aussi proposé au chercheur ce réseau un peu moins habituel.
Le chemin bleu (appelé objet) avec un point de départ d1 est reproduit à partir d’un autre point de départ d’1. C’est le chemin rouge (appelé image). Puis de nombreux autres points de départ sont choisis aléatoirement (d’2, ..) pour d’autres tentatives avec le souci de ne pas changer le chemin d’origine.

Manifestement, pour obtenir un chemin image, le chercheur explore la structure interne du chemin objet, la code pour pouvoir la reproduire ailleurs.

Voici le mode d’emploi du chemin

C’est bien une exploration verticale qui est utilisée. Cette translation est essayée de très nombreuses fois en changeant les points de départ.

Le défi est cette fois un peu différent :

Il s’agit d’utiliser la même transformation qui opère pour la figure 1, mais avec la figure 2 comme objet.

La difficulté est, dans un premier temps, de placer correctement le nouveau point de départ d’2, puis les autres points caractéristiques du tracé qui sont les points de changement de direction (les « sommets »)

Un des passages de d1 à d’1 est

 C’est le même code qui relie chaque « sommet » de la figure 1 à son homologue de la figure image 1’.

Ce donc ce chemin qui permet de déterminer le point de départ image d2’, et en partant de chaque « sommet » de la figure 2, de déterminer la position de chaque « sommet » image de la figure 2’.

Manifestement, c’est une exploration horizontale qui a été adoptée cette fois*. 

*Remarque : il est possible d’utiliser une combinaison des deux procédés. Déterminer la position du point de départ image à l’aide de l’exploration horizontale, puis de tracer le chemin image en s’appuyant sur le code découvert avec l’exploration verticale, ou encore de localiser un sommet image à partir d’un sommet voisin.

translations sans quadrillage

Cette situation s’est présentée lors d’une recherche sur la translation pendant la phase d’exploration* de la transformation. Les tentatives de représentation de chemins et de leur translaté s’est faite dans un premier temps librement à main levée sur papier blanc, puis avec plus d’exigences sur divers papiers quadrillés. J’ai aussi proposé au chercheur ce réseau un peu moins habituel.
Le chemin bleu (appelé objet) avec un point de départ d1 est reproduit à partir d’un autre point de départ d’1. C’est le chemin rouge (appelé image). Puis de nombreux autres points de départ sont choisis aléatoirement (d’2, ..) pour d’autres tentatives avec le souci de ne pas changer le chemin d’origine.

Manifestement, pour obtenir un chemin image, le chercheur explore la structure interne du chemin objet, la code pour pouvoir la reproduire ailleurs.

Voici le mode d’emploi du chemin

C’est bien une exploration verticale qui est utilisée. Cette translation est essayée de très nombreuses fois en changeant les points de départ.

Le défi est cette fois un peu différent :

Il s’agit d’utiliser la même transformation qui opère pour la figure 1, mais avec la figure 2 comme objet.

La difficulté est, dans un premier temps, de placer correctement le nouveau point de départ d’2, puis les autres points caractéristiques du tracé qui sont les points de changement de direction (les « sommets »)

Un des passages de d1 à d’1 est

 C’est le même code qui relie chaque « sommet » de la figure 1 à son homologue de la figure image 1’.

Ce donc ce chemin qui permet de déterminer le point de départ image d2’, et en partant de chaque « sommet » de la figure 2, de déterminer la position de chaque « sommet » image de la figure 2’.

Manifestement, c’est une exploration horizontale qui a été adoptée cette fois*. 

*Remarque : il est possible d’utiliser une combinaison des deux procédés. Déterminer la position du point de départ image à l’aide de l’exploration horizontale, puis de tracer le chemin image en s’appuyant sur le code découvert avec l’exploration verticale, ou encore de localiser un sommet image à partir d’un sommet voisin.